已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$（其中$a\neq0$）的图像开口向上，且顶点坐标为$(h,k)$。若$f(1)=2$，$f(1)=4$，且$f(0)=1$，求$a$，$b$，$c$的值。
解答思路：
由于$f(x)$的图像开口向上，我们知道$a0$。接着，利用顶点坐标公式$h=\frac{b}{2a}$和$k=c\frac{b^2}{4a}$，可以建立方程组。然后，利用$f(1)=2$，$f(1)=4$，和$f(0)=1$这三个条件，我们可以建立三个方程。通过解这个方程组，我们可以找到$a$，$b$，$c$的值。
2.几何问题
题目二：
在直角坐标系中，已知点$A(2,3)$和$B(5,7)$。若直线$l$通过点$A$，且与直线$AB$垂直，求直线$l$的方程。
解答思路：
我们可以通过计算点$A$和$B$之间的斜率$k_{AB}$来确定直线$AB$的斜率。然后，由于直线$l$与直线$AB$垂直，我们知道它们的斜率之积为$1$。因此，我们可以通过$k_{AB}$来找到直线$l$的斜率$k_l$。利用点斜式方程$yy_1=k(xx_1)$，我们可以得到直线$l$的方程。
3.概率问题
题目三：
一个袋子里有5个红球和3个蓝球。现在从袋子中随机抽取两个球，求抽到两个红球的概率。
解答思路：
我们可以计算出从袋子中抽取两个球的总可能性。然后，计算出抽到两个红球的可能性。将这两个概率相除，我们就可以得到抽到两个红球的概率。
这些题目都是高中数学中的经典问题，它们不仅考察了学生的基础知识，还考验了他们的解题技巧和思维能力。通过解决这些问题，学生可以更好地理解数学的概念和原理，并提高他们的数学能力。
4.解析几何问题
题目四：
已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的长轴和短轴长度分别为$2a$和$2b$，其中$ab$。若椭圆上任意一点$P(x,y)$到长轴和短轴的端点的距离之和为常数$2a$，求椭圆的离心率$e$。
解答思路：
我们知道椭圆的离心率$e$定义为$e=\frac{c}{a}$，其中$c$是从椭圆中心到焦点的距离。由于椭圆上任意一点到长轴和短轴端点的距离之和为$2a$，我们可以利用椭圆的定义来建立关于$c$和$a$的方程。然后，通过解这个方程，我们可以找到椭圆的离心率$e$。
5.微积分问题
题目五：
已知函数$f(x)=x^33x^2+4$，求函数在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。
解答思路：
我们需要找到函数$f(x)$的导数$f(x)$。然后，通过解方程$f(x)=0$，我们可以找到函数的临界点。接着，我们需要检查这些临界点以及区间端点$x=1$和$x=3$在函数上的值。通过比较这些值，我们可以确定函数在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。
6.空间几何问题
题目六：
已知长方体$ABCDA_1B_1C_1D_1$的长、宽、高分别为$a$，$b$，$c$。求对角线$AC_1$的长度。
解答思路：
我们可以将长方体$ABCDA_1B_1C_1D_1$想象成一个由三个相互垂直的矩形组成的立体图形。然后，我们可以利用勾股定理来计算对角线$AC_1$的长度。具体来说，我们可以先计算$AC$和$C_1C$的长度，然后利用$AC_1=\sqrt{AC^2+C_1C^2}$来找到对角线$AC_1$的长度。
7.复数问题
题目七：
已知复数$z=a+bi$（其中$a,b$为实数），且$|z|=2$。求$z$在复平面上的轨迹方程。
解答思路：
我们知道复数$z$的模$|z|$定义为$\sqrt{a^2+b^2}$。由于$|z|=2$，我们可以建立方程$a^2+b^2=4$。然后，我们可以利用这个方程来找到$z$在复平面上的轨迹方程。具体来说，我们可以将$a$和$b$看作是平面直角坐标系中的