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1、经典模型系列手册经典模型系列手册温故而知新 # 熟能生巧经典模型系列手册任意等腰三角形条件：AOAB, AOCD均为等腰三角形且 Z2B=ZCOD结论：OM今zXOBD ;（ZAEB = NADEOE平分ZAED （易忘）模型总结：核心图形如右图，核心条件如下： OA=OB , OC=OD Z2B=ZCOD模型二：手拉手模型一相似o 0D条件：CDAB ,将AOCD旋转至右图位置 结论：右图OCDsOABo OMszoED 且延长AC交BD与点E 必有 ZBEC = ZBOA非常重要的结论，必须会熟练证明手拉手相似（特殊情况）当 ZAOB = 90。时,除OCDsAOABoAQACsAOBD
2、之外还会隐藏昱=22 = 21 = tanZOCD AC OC OA满足BD丄AC,若连结AD、BC,则必有AD2 + BC2 = AB2 + CD2Sabcd =-ACxBD （对角线互相垂直四边形）模型三：对角互补模型条件： 4OB=ZDCE=90。OC平分ZADB结论： CD = CE ; od + oe = J5oc SodCE SOCD + AOCE 辅助线之一：作垂直，证明ACDMACEN温故而知新 7 熟能生巧滴水穿石锲而不舍经典模型系列手册当ZDCE 边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二） CD = CE不变 OEod = J5oc （重点）sAOCE-sA
3、OCD=|oc2 （难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握细节变化：若将条件“ OC ZAOB ”与结 论“ CD = CE ”互换条件： 4OB=ZDCE=90。 CD = CE结论：OC平分ZAOB ;OD + OE = /5OC SoDCE = AOCD + Saoce = - X（全等型120 ）条件： Z/OB=2ZDCE = 120OC平分ZAOB结论： CD = CE ; OD + OE=OCQODCE= SAOCD温故而知新13熟能生巧经典模型系列手册温故而知新#熟能生巧经典模型系列手册请模仿（全等形一90。）辅助线之一完成证明温故而知新#熟能生巧经典模型系列手册辅助线之二
4、：在OB上取一点F ,使CF =6CAOCF为等边三角形（重要）结论： CD = CE ; OD + OE=OC SodCE = AOCD + AOCE =必须熟练，自己独立完成证明温故而知新15熟能生巧经典模型系列手册当ZDCE 边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二） （重点） （难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握温故而知新17熟能生巧经典模型系列手册经典模型系列手册(对角互补模型一相似型)如图，若将条件“ OC平分ZAOB ”去掉温故而知新#熟能生巧经典模型系列手册温故而知新#熟能生巧经典模型系列手册条件： zLAOB=ZDCE=90 不变, ZC O Ecz
5、,结论中三个条件又该如何变化？ 结论:CE=CDtana;(ODtana + OE)cosa = OC AOCD 吐血 CC + SA0C詁gw证明：过点C作CF丄OC,交OE于点F ZDCE = ZOCF = 90 ZDCO = ZECF ZAOB+NDCE = 180 ZCEXD + ZCEO = 180 ZCDO = ZCEF ACDOACEF,EF=CE=CF=tanDO CD CO（关键步）温故而知新21熟能生巧经典模型系列手册结论得证e. EF = OD*tan aT (OE + EF )*cos = OC结论得证= ()2 = tan2 oc Sg。 CO* * ACEF = A
6、CDO t3H OC AOCE + CEF =SA OCF且 SgcF= -OC2tana2结论得证难度非常大，请仔细认真复习对角互补模型总结： 常见初始条件：四边形对角互补两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线 初始条件：角平分线与两边相等的区别 常见两种辅助线的作法 注意下图中“ OC平分ZAOB ”OE BZCDE = ZCED = ZCOA= ZCOB 相 等是如何推导温故而知新 23 熟能生巧经典模型系列手册角含半角模型(90 )G匕匕经典模型系列手册经典模型系列手册条件：正方形ABCD ;ZEAF = 45结论：EF=DF+BEzXCEF周长为正方形ABCD周长一半也可以这样：条件
7、：正方形ABCD ;EF= DF+BE结论：ZEAF = 45口诀：角含半角要旋转经典模型系列手册经典模型系列手册经典模型系列手册角含半角模型（90 ）变形温故而知新#熟能生巧经典模型系列手册温故而知新#熟能生巧经典模型系列手册条件：ZEAF = 45结论：AAHE为等腰直角三角形（重点/难点） 证明：连接AC （方法不唯一）J ZDAC = ZEAF = 45 , ZDAH = ZCAE ZADH = Z/CE = 45 , zAADHAACE温故而知新#熟能生巧经典模型系列手册温故而知新#熟能生巧经典模型系列手册.DA_ AC品忑 AAHEsAADC温故而知新29熟能生巧经典模型系列手册倍
8、长中线类模型条件：矩形ABCD ;BD=BE DF=EF结论：AF丄CF模型提取： 有平行线AD/7BE 平行线间线段有中点DF = EF可以构造8字全等AADFAHEF倍长中线类模型条件：平行四边形；ABCDBC = 2AB; AM = DM ; CE 丄 AD结论：ZEMD = 3ZMEA辅助线：有平行ABCD ,有中点AM = DM 延长EM，构造AAMEADMF ,连接CM 构 造等腰AEMC , AMCF通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大 小转化相似三角形360度旋转模型（倍长中线法）条件：AADE、AABC均为等腰直角 EF=CF结论：DF=BF ;DF丄BF辅助线:延长D
9、F到点G ,使FG=DF ,连接CG、BG、BD证明並为等腰直角 突破点：AABDACBG难点：证明ZBAD = ZBCG温故而知新 31 熟能生巧经典模型系列手册温故而知新27熟能生巧任意相似直角三角形360度旋转模型（补全法）条件：OABsAODC ZOAB= ZODC = 90 ;3BE = CE结论： AE = DE; ZAED = 2ZABO辅助线：延长BA到点G ,使？G,延长CD到点H使DH=CD ,补全AOGB、OCH构造旋转模型，转化AE与DE到CG 与BH ,难点在转化ZAED滴水穿石 # 锲而不舍经典模型系列手册任意相似直角三角形360度旋转模型（倍长法）条件：OABsO
10、DC ZOAB = ZODC = 90 :胚 电 结论： AE = DE; ZAED = 2ZABO 辅助线：延长DE至M ,使ME=DE ,将结 论的两个条件转化为证明AAMDAABO ,此 为难点，将AAMDAABC继续转化为证明 AABMA AOE,使用两边成比且夹角等 此处难点在证明ZABM=ZAOD温故而知新 35 熟能生巧最短路程模型之一（将军饮马类）PA+-PQ+BQ11】2总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题, 最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决 特点：动点在直线上;起点，终点固定滴水穿石#锲而不舍经典模型系列手册最短路程模型之二（点到直线类）AP垂线段最短o Q
11、M B温故而知新37熟能生巧经典模型系列手册温故而知新#熟能生巧经典模型系列手册条件：如右图OC平分ZAOBM为OB上一定点 P为OC上动点 Q为OB上动点求：MP + PQ最小时，P、Q的位置 辅助线：将作Q关于OC对称点Q,转化PQ = PQ ,过点M作MH丄OAMP + PA=MP + PQ,MH （垂线段最短）问题：点P在何处，BP + -AP最短2结论：以A为顶点作ZPAC = 30 ,过点P作PQ丄AC,转化PQ = -AP，过点B作AC的垂线与AP的交点为所求（垂线段最短）最短路程模型之二（点到直线类）问题：点P在何处,BP + AP最短2结论：以A为顶点作ZPAC = 45 ,
12、过点P作PQ 丄 AC,转化 PQ = -AP , it 点B 作 AC 2的垂线与AP的交点为所求温故而知新39熟能生巧最短路程模型之二(点到直线类)条件：川0,4)、B(-2?0) , P(0?n)问题：n为何值时,PB +5PA值最小结论：x上取点C(2,0),使讯ZOC5滴水穿石#锲而不舍最短路程模型之二(点到直线类)滴水穿石#锲而不舍最短路程模型之二(点到直线类)过点B作BD丄AC ,交y轴于点E为所求 tan ZEBO = tan ZOAC =丄，即 E(0,l)滴水穿石#锲而不舍经典模型系列手册最短路程模型之三（旋转类最值模型）B聂小值位置最大值位置温故而知新 41 熟能生巧经典
13、模型系列手册温故而知新 # 熟能生巧经典模型系列手册条件：线段 OA=4, OB = 2 (OAOB)OB绕点O在平面内360旋转问题：AB的最大值，最小值分别为多少？ 结论：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图 所示，将问题转化为三角形两边之和大于第三 边，两边之差小于第三边”最大值：OA+OB :最小值：OA-OB温故而知新 # 熟能生巧经典模型系列手册最短路程模型之三（旋转类最值模型）温故而知新#熟能生巧经典模型系列手册温故而知新#熟能生巧经典模型系列手册条件：线段OA=4, OB = 2以点O为OB , OC为半径作圆温故而知新#熟能生巧经典模型系列手册温故而知新#熟能生巧经典模型系列手
14、册点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点问题：若PA的最大值为10,则OC = 6若PA的最小值为1 ,则OC = 3若PA的最小值为2 ,则PC的取值范围是 0PC2最短路程模型之三（旋转类最值模型）条件： R1AOBC , ZOBC = 30OC = 2 ;OOA=1 ;点P为BC上动点（可与端点重合）；AOBC绕点O旋转 结论：PA最大值为OA+OB = 1 + 2a/3 PA最小值为丄OB OA=JT1如右图，圆的最小半径为O到BC垂线段长温故而知新43熟能生巧经典模型系列手册最短路程模型之四（动点在圆上）条件：以点O为圆心三个圆，OA、OD固定OP绕点O旋转问题：点Q在什么位置时，E
15、P + MB最小 辅助线：连接DQ、QC ,当Q、D、C三点共线时，EP + MB=DQ + QC = DC最小最短路程模型之四(动点在圆上)条件：正方形ABCD且边长为4 ;OB的半径为2 :P为OB上动点问题：求PD + (PC/2)最小值辅助线：过点E作EM/PC ,取BE中点N 转化思路：将PC/2转化ME ,将ME转化为 MN ,因此MD+MN的最小值为DN长度 总结：PC / 2的比值不是随意给出的，而是圆 的半径r/BC温故而知新 45 熟能生巧经典模型系列手册二倍角模型条件：AABC 中，ZB = 2ZC辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A,连接AA、BA、CA则BA*为ZABC的角平分线，那么BA= AA = CA（注意这个结论）此种辅助线的作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，但并不是唯一作法相似三角形模型（基本型）A字型8字型A字型平行类：DEBCAD AE DE z 亠. 、结论：（注意对应边要对应） AB AC BC模型应用：经常在选择，填空中直接考查，在第 20题的第二问也经常会考查“ A字型” “ 8字 型”相似，建立方程。相似三角形模型（斜交型）B C 斜交型B双垂廿条件：如左面两个图ZAED = ZACB = 90 结论:AExAB=ACxAD条件：如右面两个图ZACE = ZABC结论
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