【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形。
【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；
③OE平分∠AED。
2） 等腰直角三角形
【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形。
【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；
③OE平分∠AED。
3）顶角相等的两任意等腰三角形
【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形；
且∠COD=∠AOB。
【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；
③OE平分∠AED。
- 模型2 -
手拉手模型—旋转型相似
（1）一般情况
【条件】：CD∥AB，将△OCD旋转至右图的位置。
【结论】：①右图中△OCD∽△OAB ↔ △OAC∽△OBD；
②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA。
（2）特殊情况
【条件】：CD∥AB，∠AOB=90°，将△OCD旋转至右图的位置。
【结论】：①右图中△OCD∽△OAB ↔ △OAC∽△OBD；
②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；
③BD/AC=OD/OC=OB/OA=tan∠OCD；
④BD⊥AC；
⑤连接AD、BC，必有AD²+BC²=AC²+BD²；
⑥SABCD=1/2AC·BD。
- 模型3 -
对角互补模型
（1）全等型-90°
【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB。
【结论】：①CD=CE；②OD+OE=√2OC；
③SODCE=S△OCD+S△OCE=1/2OC2。
证明提示：
①作垂直，如上图左，证明△CDM≌△CEN。
②过点C作CF⊥OC，如上图右，证明△ODC≌△FEC
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如上图）：
①CD=CE；②OE-OD=√2OC；
③S△OCE-S△OCD=1/2OC2。
（2）全等型-120°
【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB。
【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；
③SODCE=S△OCD+S△OCE=√3/4OC2。
证明提示：
①可参考『全等型-90°』证法一；
②如右上图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。
（3）全等型-任意角ɑ
【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE。
【结论】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；
③S△OCD+S△OCE=OC2·sinɑ·cosɑ
证明提示：
1、四边形对角互补，剩余的对角也互补。
2、距离角的两边相等的点，在角的平分线上。
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如上图）：
原结论变成：①OC平分∠AOB；
②OE-OD=2OC·cosɑ；
③S△OCE-S△OCD=OC2·sinɑ·cosɑ
可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。
- 模型4 -
角含半角模型--90°
（1）角含半角模型90°---1
【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°。
【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；
反之也成立：
【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；
【结论】：①∠EAF=45°；
（2）角含半角模型90°---2
【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：①EF=DF-BE；
证明提示：
（3）角含半角模型90°---3
【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；
【结论】：BD²+CE²=DE²。
证明提示：△ABF≌△ACE
若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论仍然成立（如上图）
（4）角含半角模型90°---变形
【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：△AHE为等腰直角三角形；
证明：
∵∠GAH=45°=∠GBE，
又∵∠AGH=∠BGE，
∴△AGH∽△BGE，∴AG/BG=HG/EG；
∵∠AGB=∠HGE，
∴△AGB∽△HGE，
∴∠GEH=∠ABG=45°
∴△AHE为等腰直角三角形。
- 模型5 -
倍长中线模型
（1）倍长中线类模型---1
【条件】：①矩形ABCD；②BD=BE；③DF=EF；
【结论】：AF⊥CF
证明提示：
①有平行线AD∥BE；
②平行线间线段有中点DF=EF；
可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。
（2）倍长中线类模型---2
【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；
③AM=DM；④CE⊥AB；
【结论】：∠EMD=3∠MEA
证明提示：
AB∥CD，AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造等腰△EMC，等腰△MCF，等腰△DMC。
- 模型6 -
相似三角形360°旋转模型
（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法
【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；
②EF=CF；
【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF
辅助线：延长BF到点G，使FG=BF，连接DG、BD、EG，证明△BDG为等腰直角三角形。
突破点：△ABD≌△EGD。
证明提示：
①证明△EFG≌△CFB（倍长中线）
②GE∥CB，GE⊥AB
③“8”字型，∠DAB=∠DEG
④证明△DAB≌△DEG（SAS）
（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法
【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；
②EF=CF；
【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF
辅助线：构造等腰直角△AEG、△AHC；
辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EH。
证明提示：
①证明△GAC≌△EAH（SAS）
②证明EH⊥CG
∵∠GCH=45°+∠GCA
∠EHC=45°-∠EHA=45°-∠GCA
∴∠GCH+∠EHC=90°
∴EH⊥CG
（3）任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法
【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；
③BE=CE；
【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO
辅助线：延长DE至M，使ME=DE。
证明提示：
①证明△BEM≌△CED（SAS），
②证明△ABM∽△AOD，
③证明△AMD∽△ABO
证明∠ABM=∠AOD是难点。
∠ABM=360°-∠ABO-∠OBC-∠EBM
=360°-∠ABO-∠OBC-∠ECD
=360°-∠ABO-∠OBC-(∠BCO+∠OCD)
=360°-∠ABO-∠OBC-∠BCO-∠OCD
=360°-(∠OBC+∠BCO)-(∠ABO+∠OCD)
=180°-(∠OBC+∠BCO)+180°-(∠ABO+∠OCD)
=∠BOC+∠AOB+∠COD
=∠AOD
（4）任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法
【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；
③BE=CE；
【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO
辅助线：延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，连接CG、BH，补全△OGB、△OCH构造旋转模型。转化AE与DE到CG与BH，难点在转化∠AED。
证明提示：
证明△OGC≌△OBH（SAS）
∠AED=∠GFH=∠FGB+∠GBF
=∠FGB+∠ABO+∠OBF
=2∠ABO
- 模型7 -
最短路程模型
（1）最短路程模型1--将军饮马
总结：上图为常见的轴对称类最短路程问题，
最后都转化到：两点之间，线段最短；
特点：①动点在直线上；②起点、终点固定；
（2）最短路程模型二---点到直线类1
【条件】：①OC平分∠AOB；②M为OB上一定点；③P为OC上一动点；④Q为OB上一动点；
【问题】：求MP+PQ最小时，P、Q的位置？
辅助线：将作Q关于OC对称点Q’，转化PQ’=PQ，过点M作MH⊥OA，则MP+PQ=MP+PQ’≥MH(垂线段最短）
（3）最短路程模型二（点到直线类2）
【条件】：A(0,4)，B(-2,0)，P(0,n）
【问题】：n为何值时，PB+√5/5PA最小？
求解方法：①x轴上取C(2,0)，使sin∠OAC=√5/5；②过B作BD⊥AC，交y轴于点E，点E的纵坐标即为所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=1/2，即E（0,1）。
（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）
【条件】：①线段OA=4，OB=2；②OB绕点O在平面内360°旋转；
【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？
【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。
最大值：OA+OB；最小值：OA-OB。
【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆；③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；
【结论】：
若PA的最大值为10，则OC= 6 ；
若PA的最小值为1，则OC= 3 ；
若PA的最小值为2，则OC的取值范围是：0
【条件】：①Rt△OBC，∠OBC=30°；
②OC=2；③OA=1；④点P为BC上动点（可与端点重合）；
⑤△OBC绕点O旋转；
【结论】：①PA最大值为OA+OB=1+2√3；
②PA的最小值为1/2OB-OA=√3-1;
- 模型8 -
二倍角模型
【条件】：在△ABC中，∠B=2∠C；
辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A’，连接AA’、BA’、CA’、
则BA=AA’=CA’(注意这个结论）
此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。
- 模型9 -
相似三角形模型
（1）相似三角形模型--基本型
平行类：DE∥BC；
结论：AD/AB=AE/AC=DE/BC (注意对应边要对应）
（2）相似三角形模型---斜交型①
【条件】：如下图，∠AED=∠ACB=90°；
【结论】：AE×AB=AC×AD
（3）相似三角形模型---斜交型②
【条件】：如下图，∠ACE=∠ABC；
【结论】：AC²=AE×AB
上右图还存在射影定理：AB×EC=BC×AC；BC²=BE×BA；CE²=AE×BE；
（4）相似三角形模型---一线三等角模型
【条件】：
1图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；
2图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；
3图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；
【结论】：①△ABC∽△CDE；②AB×DE=BC×CD；
一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。
（5）相似三角形模型---圆幂定理型
【条件】：（1）图中PA为圆的切线；
【结论】：
（1）图：PA²=PC×PB;
（2）图：PA×PB=PC×PD；
（3）图：PA×PB=PC×PD；
以上结论均可以通过相似三角形进行证明。
熟练掌握上面的几何模型，将会帮助我们理清证明题里的逻辑关系，化繁为简，降低几何证明题的难度。
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初中数学课本目录（苏教版）
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因式分解的七种常用方法
解析三角形的角平分线组成的新角
初一第二章有理数——数轴和绝对值
初一第二章——乘方
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寻找“不变量”1--和不变
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小学数学『公式与性质』完整篇
小升初总复习1『概率与统计』
小升初总复习2『数与代数』
小学六年级易错题2『综合』
分数的简便计算的八种常用方法
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三角形Ⅲ——面积与燕尾模型
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