四年级数学备课组活动六：《解决问题的策略》教材分析
四年级数学上册第五单元《解决问题的策略》教材分析
数学教学中，解决实际问题的价值不局限于获得具体问题的结论或答案，它的意义更在于学会解决问题，并且体会每个人都有自己对问题的理解，并由此形成自己解决问题的方法；体会解决问题可以有不同的方法，应当选择适宜自己的方法来解决问题。数学教学在鼓励学生个性发展的理念下进行，创新精神和实践能力才可能真正得到培养。
“策略”的原意是计策与谋略。解决问题的策略是解决问题的计策与谋略，具体表现为对问题的理解，对解决问题方法、手段的思考和选择运用。解决问题，特别是解决新颖的问题需要策略，而解决问题的策略又是在解决问题的活动中逐步形成和发展的。本单元主要教学两个策略：一是整理数学信息的策略，二是解决问题的主要步骤。整理数学信息的策略，在能够寻找已知条件和所求问题的基础上，通过有条理地摘录数学信息，找到数量之间的联系，形成解题思路，解答常见的三步计算问题，以及归一、归总问题等实际问题。进一步提高利用已知数量或所求数量进行推理的能力，不仅使解题思路的展开更加稳定，而且使“从条件向问题”与“从问题向条件”的推理有机融合，分析数量关系的过程更加灵活、更加流畅。解决问题的主要步骤是一种比较稳定、比较基本的策略，包括理解问题、设计并实施解决方案、检验结果、反思经验与体会等步骤，对人们解决问题有很大的影响。每一个步骤都有相关的、具体的技巧与方法，具有可操作性。学生已经解答过许许多多实际问题，积累了一些解决问题的经验，让他们理解并掌握解决问题的主要步骤十分重要，能够避免解题思考与活动发生混乱。全单元编排两道例题，具体安排见下表：
例1列表整理已知条件，按解决问题的主要步骤，解答比较容易的三步计算实际问题
例2应用本单元教学的策略，解答归一问题
（一） 按解决问题的主要步骤设计例题的教学线索，引导学生经历解决问题的全过程，积累解题方法与经验，丰富解决问题的策略
人们解决数学问题的主要步骤是：了解题意，寻找并整理条件与问题；利用数量之间的联系进行推理，形成解决问题的思路和方案；根据解题计划，采用适当的方法（经常是列式计算，也有其他办法），得到问题的结果；检验答案是否正确，确定或修改已有结果；回顾解决问题的过程，积累经验。遵循这些步骤，解题过程就能有条不紊，解题结果就能得到保障，解题能力就能逐渐提高。著名数学教育家波利亚的“解题表”提出了包括“弄清问题”“拟订计划”“实现计划”“回顾反思”四大步骤的解题全过程，与人们解决问题的主要步骤是完全吻合的。
本单元的两道例题，都按解决问题的主要步骤安排教学线索，每一道例题的教学都设计成四大块：整理题目里的条件和问题；根据数量关系确定先算什么，并列出算式，算出得数；选择一种方法检验答案，给出问题的正确答案；回顾解决问题的过程，交流体会、积累经验。
学生在第一学段解决过许多实际物体，都是按“理解题意——分析数量关系——列式计算——给出答案”的程序进行解题活动的。由于所解决的问题比较简单，执行这些程序比较容易。学生一方面已经初步适应这样的程序，另一方面如果遇到比较复杂的问题，已有的解题方法和经验远远不够使用。所以本单元在突出解决问题的主要步骤的同时，加强理解题意的方法指导，加强分析数量关系的推理力度，加强解决问题方案的构思和实施，加强检验方法的教学和检验习惯的培养。
（二） 利用数量之间的直接联系，整理实际问题的已知条件和所求问题，体会“整理”对解决问题的积极作用，充实“整理”策略
例1给出“3行桃树”“8行杏树”“4行梨树”以及“桃树每行7棵”“杏树每行6棵”“梨树每行5棵”六个已知条件，要解决的问题是“桃树和梨树一共多少棵”。这个实际问题有三个特点：一是已知条件比较多，二是条件之间的直接联系比较清楚，三是要选择有关条件来解决所求问题。学生在初步读题时能够感受到这些特点，因此教材要他们“想办法整理题中的条件”。一般会把六个条件整理成“三组、两类”，即桃树的行数与每行棵数是一组，杏树的行数与每行棵数是一组，梨树的行数与每行棵数是一组；三种树的行数是一类，三种树每行的棵数是另一类。
“辣椒”卡通按果树的种类整理条件，得到：
桃树3行，每行7棵；
杏树8行，每行6棵；
梨树4行，每行5棵。
“萝卜”卡通根据问题选择有关的条件并且利用表格整理，得到：
大多数学生会像这两个卡通那样进行整理，教学应该让学生明白，利用条件之间的直接联系（这里是每一种果树的行数与每行棵数的对应关系）可以整理条件；如果某些条件与所求问题没有关系，这些条件可能是“多余”的（杏树的行数和每行棵数在解决桃树和梨树一共多少棵时，是多余条件）。
例2的一座水库某天从7:00开始放水，用表格给出：到9:00，水位下降12厘米；到11:00，水位下降24厘米；到13:00，水位下降36厘米；到15:00，水位下降48厘米。要解决的问题是“照这样的速度，水位下降120厘米，需要放水多少小时”。这个实际问题的条件已经在表格里整理好了，要求学生看着表格里的数据，说说“怎样理解表格中的信息”，发现“每2小时，水位下降12厘米”，即“每小时下降6厘米”是一个稳定不变的数量。“照这样计算”就是照“每小时下降6厘米”计算。
整理数学信息的目的是理解题意，按条件之间的直接联系整理，有助于全面、系统地理解题意。所以，一方面要采用适当的形式（表格或非表格都可以）进行整理，感受条件及其相互联系，另一方面要体会整理的作用与好处，逐渐形成自觉整理的习惯。可以要求学生看着整理的条件和问题，用自己的话复述题意，感受整理信息能够更好地理解题意。
（三） 利用条件与条件、条件与问题之间的联系进行推理，形成解题思路
三年级《解决问题的策略》单元，已经教学了从实际问题的“已知条件向所求问题推理”和“从所求问题向已知条件的推理”，这是分析实际问题里数量关系的基本策略。
整理例1的条件与所求问题，深入了解条件之间的联系，以及问题与条件之间的联系，就能利用条件与条件之间、问题与条件之间的联系进行推理，从而形成解题思路。学生通过整理，感受到桃树的行数与每行棵数是相关的两个条件，利用这两个条件能够算出桃树的棵数；梨树的行数与每行棵数是相关的两个条件，利用这两个条件能够算出梨树的棵数；有了桃树棵数和梨树棵数，就能算出桃树和梨树一共的棵数。还感受到桃树棵数与梨树棵数是求桃树和梨树一共多少棵所需要的两个条件，这两种树的棵数可以分别利用相应的行数与每行棵数算出来。这些感受是从条件向问题的推理和从问题向条件的推理，是分析数量关系的策略，是产生解决问题的计划与步骤的过程。教材鼓励学生“根据数量之间的关系，确定先算什么”，让他们在理解题意之后，利用已有的分析数量关系的策略与经验，主动寻找解决实际问题的具体方法，体验“整理策略”对解决问题的积极作用。
整理例2的条件与问题，发现水库的水位“每2小时下降12厘米”，即每小时水位下降6厘米。有了这个数据，就能算出水位下降120厘米所需要的时间，也能算出经过12小时水位一共下降的厘米数。
分析例题的数量关系，要引导学生把“条件向问题推理”和“问题向条件推理”结合起来。一方面找到相关的两个条件，想想能够算出什么；另一方面抓住所求问题，想想需要什么条件。像这样既从条件想起，也从问题想起，往往是比较轻松、有效的方法。具体地说，分析例1的数量关系，要从“桃树3行，每行7棵”想到桃树一共21棵，从“梨树4行，每行5棵”想到梨树一共20棵；还要从“桃树和梨树一共多少棵”想到“桃树棵数+梨树棵数=两种树一共的棵数”。分析例2以及“想一想”的数量关系，要从“每2小时水位下降12厘米”想到每小时水位下降6厘米；还要从所求问题想到“水位下降120厘米÷每小时下降6厘米=水位下降需要的小时数”“每小时下降6厘米×水位下降的小时数=水位下降的厘米数”。
（四） 及时检验答案是否正确，更加全面地把握实际问题里的数量关系
及时检验答案是一种良好的习惯，能保障解决问题的结果正确。检验还能促进学生更好地把握实际问题里的数量关系，发展推理能力。
检验答案通常有三种方法：一是用原来的方法再解一次，看两次解题的答案是不是相同。这种检验只能看出计算错误，至于解题思路的错误以及列式的错误，较难发现。因此，一般不大采用。二是用另一种方法解题，看两次解题的结果是不是相同。由于两次解题的思路、步骤、算式和计算都不一样，所以两次解题的结果如果相同，可以认为解题正确。这种检验，要求实际问题有两种或多种解法，否则无法采用。三是把求得的结果作为一个已知条件，把原来的某个条件改成问题，编出一道新的实际问题，解答编出的问题。如果结果和原来的条件相同，表明解题正确；如果结果和原来的条件不相同，则解题可能错误。这种检验解答了与原来问题不同的另一个问题，不仅检验了原题答案，而且发展了逆向思考，提高了推理能力。
本单元的例1只有一种解法，所以要采用上述的第三种检验方法。在求出桃树和梨树一共41棵以后，可以改编成求桃树每行多少棵的问题。即：3行桃树和4行梨树一共41棵，梨树每行5棵，桃树每行多少棵？当然，改编成求梨树每行多少棵的问题，或者求桃树有几行、梨树有几行的问题也是可以的。教材要求学生“选择一种方法进行检验”，他们无论改编成哪一道实际问题都可以。
例2有多种解法，它可以用一种解法来检验另一种解法。如果从“每2小时水位下降12厘米”算出每1小时水位下降6厘米，就能通过“120÷6”算出水位下降120厘米需要20小时。如果从“120厘米是12厘米的10倍”，就能得到“水位下降120厘米需要的时间是下降12厘米时间的10倍”，即2×10=20（小时）。两种解法的得数相同，表明解法和结果是正确的。这道例题也可以这样检验：求出水位下降120厘米需要20小时以后，改编成求20小时水位下降多少厘米的问题。即：水库的水位每2小时下降12厘米，照这样计算，放水20小时，水位下降多少厘米？
（五） 回顾解决问题的方法与过程，积累经验、发展策略
人们解决实际问题，运用了自己已有的知识、技巧、经验。如果以解决问题为目的，得出问题的正确结果，解题活动就可以结束了。然而，数学教学中的解决实际问题，其目的不只是得到问题的答案，而是提高学生解决问题的能力，培养解决问题的策略。这就是说，得到问题的结论不应是教学的结束，还要进一步积累解决问题的经验，形成学生自己解决问题的有效策略。回顾解决问题的过程，反思解决问题所使用的方法，是人们积累经验、发展策略的重要渠道。所以，本单元的两道例题都安排了“回顾反思”的教学活动。
让学生畅谈解决问题的体会，他们会各抒己见，话题很宽。为此，教学应根据例题的教学内容与目的，适当调控学生的回顾与反思。例1的回顾可以集中讨论两点：一是解决问题主要经历哪些步骤，二是分析数量关系可以采用哪些方式与方法。关于解决问题的主要步骤，可以回顾解答例题的全过程。首先要弄清题意，找到已知条件和所求问题；接着分析数量关系，设计解题计划；然后按解决问题的步骤，列出算式，算出得数并检验结果；最后是反思解题，交流体会。关于分析数量关系，可以回顾所进行的推理和使用的方法。既能从条件出发向问题推理，也能从问题出发向条件推理，如果两种推理相结合，效果会更好。除了这些推理，还可以联系问题情境的特点，选择画图、列表等方式整理条件和问题，以方便思考。
例2的特点是用表格呈现放水小时数和相应的水位下降厘米数，数量之间的对应联系十分清楚，而且解决问题的方法不止一种。所以，回顾反思要围绕分析数量关系的思考以及解题方法的得出来进行。一是放水时间与水位下降高度是有规律地同时变化的，水位每小时下降6厘米是不变的数量，它可以从“每2小时下降12厘米”得出；二是通过分析数量关系，可以发现这个问题有几种不同的解法。利用“每小时水位下降6厘米”能够找到一种解法，利用“放水时间与水位下降高度按相同倍数变化”，也能够想到一种解法。各种解法的结果应该相同，不同的解法可以相互检验。
（六） 编排练习题，让学生在解题实践中提高解决问题的能力
教材为两道例题各配备了“练一练”，及时应用例题所教学的方法来解决实际问题，巩固知识、形成技能。还编排练习九，引导学生灵活应用两道例题所教学的方法解决实际问题，体验方法、形成策略。
1. 从“有形”整理到“无形”整理，逐步养成整理数学信息的习惯。
画图或列表都是整理条件与问题的常用方法，在图画上和表格里能够比较直观地表示出数量之间的联系。为了让学生学会画图、列表整理数量的方法，教材应该呈现图画和表格，指导他们如何画图、如何列表，并要求他们采用画图与列表的方法整理条件和问题，逐渐学会这些方法。这就是所谓的“有形”整理。
当人们掌握画图、列表整理的方法以后，图画与表格不一定在纸上表现出来，完全可以想在头脑里。在头脑里整理，就是所谓的“无形”整理，是较高水平的整理，是整理习惯和能力的综合表现。
教材十分注意从“有形”整理到“无形”整理的引导。配合两道例题各安排一次“练一练”，每次“练一练”都是两个实际问题。其中第1题都要求学生“先整理题中的条件和问题，再解答。”尤其是例2“练一练”的第1题还给出了表格，让学生“利用表格整理条件和问题”。教材希望学生在第1题里开展“有形”的整理活动，学会整理的方法，体验整理对理解题意以及解决问题的积极作用。其中第2题没有明确提出整理条件与问题的要求，这并不是不要整理，而是希望学生自觉进行整理活动。他们可以从自己的需要出发，或是仍然采用“有形”整理的方式，画出图画、表格进行整理，或是把图画、表格想在头脑里，进行“无形”整理。
解决实际问题需要认真整理条件与问题，这是解决问题的重要一步。使用哪一种方式、方法进行整理，都要从自己的实际能力出发进行选择。教学应尊重学生的选择，保障所有学生都有完成信息整理的时间；应组织各种整理形式的交流，逐渐提升整理信息的水平。教学应适当要求学生进行一些“有形”整理，使所有学生都学会基本的整理方法；还应及时鼓励学生进行“无形”整理，灵活运用整理的方法，充分体验整理的意义，形成整理信息的习惯。
2. 解决新颖的问题，体验整理信息的重要性。
教学实践告诉我们，问题的新颖性与策略的形成正相关。这就是说，策略的形成应体现在解决新颖的问题上面，并在创造性地解决新颖问题的活动中得到锻炼和发展。反之，如果策略只应用于比较熟悉的、已经知道解法的问题之中，其意义和价值就很有限了。所以，“整理”策略不能总是局限于已经教过的、已经认识的那些问题上，以免挫伤学生整理信息的积极性，影响策略的形成。为此，例1在解答“求两积之和”问题以后，由“想一想”带出“求两积之差”的问题，由“练一练”带出“求两商之差”的问题。例2教学“归一”问题之后，练习九第8、9、10题带出“归总”问题。
过去教学归总问题，往往是单独编排一道或两道例题，突出归总问题的结构特点、数量关系以及解答方法。本单元教学的整理策略，完全适用于归总问题。教材把归总问题编排在练习里面，希望学生通过整理条件与问题，感受数量之间的对应联系，自己分析数量关系，独立找到解决问题的步骤与方法。练习九第8、9、10三道题循序渐进、由易到难地编排。第8题在教科书上填写表格，体会猕猴桃的总个数是确定的，如果每箱装的个数越多（少），那么装的箱数就越少（多）；如果装的箱数越多（少），那么每箱装的个数就越少（多）。数量关系是：猕猴桃总个数÷每箱装的个数=装的箱数，猕猴桃总个数÷装的箱数=每箱装的个数。第9题在教室里放花的问题，比较容易理解和解答，学生可以自主选择“有形”整理或者“无形”整理，体会在这个问题里，花的总盆数是一定的，花的总盆数÷每个教室放的盆数=可以放的教室个数。第10题买体育用品的问题，比较复杂。其中，涉及的数量较多，有三种球的个数与单价；数量呈现的形式较多样，有些在图画里、有些在题目的正文里、有些在人物的对话里。十分需要整理所有的数量，理清每一种球的数量与单价，理清已知条件和所求问题，明白这三种球的总价相同，通过总价÷单价=数量、总价÷数量=单价来解决问题。
发展解决问题的策略是新课程对数学教学提出的新课题，让学生主动解决一些新颖的问题是数学教学的一项突破。为此，教学应做到两点：第一，改变例题的教学观念。例题应该教给学生基本的数学思想方法，这种思想方法不但解决了例题，还能解决与例题相似、甚至不同的问题。画图整理、列表整理是解决问题的基本策略，所解决的问题不仅是比较容易的三步计算问题，而且还有稍难的三步计算问题；不仅是归一问题，而且还有归总问题，甚至包括其他的实际问题。只有在例题的教学中突出整理条件与问题的思想和方法，让学生体验这个思想方法，内化成自己解决问题的策略，才可能举一反三应用这种策略。第二，教学新颖的问题，既要放手学生独立解答，也要给以必要的帮助。如果过多地补充例题，对有些变化的和新颖的习题都通过例题示范解法，让学生模仿着解题，创造精神和实践能力的培养会受到很大的制约。如果片面理解放手让学生自主学习，在他们遇到困难时也不给予必要的指导，许多学生将一知半解或知之甚少，也会严重影响教学目标的实现。教材首次出现归总问题，应该提醒学生整理条件与问题，充分利用已经学到的思想方法去理解题意，探索解决问题的方向与线索。在学生整理信息时，应当适当地“放”和“扶”。在第8题里，应鼓励学生在教材的表格里整理信息，并看着整理好的表格说说自己的理解与想法。在第9题里，应提倡学生自己设计整理信息的方式，允许一部分学生开展“有形”整理活动，另一部分学生选择“无形”整理方式。在第10题里，应抓住学生读题有困难这个机会，引导他们设计整理条件与问题的表格，并开展整理信息的活动，通过整理来复述题意，分析数量关系，规划解题的思路与步骤，形成解决问题的计划，从而体验“整理”是解决问题的一种有效策略。